Комплексен анализ - 2015/2016/A

Конспект

1. Комплексни числа. Редици и редове от комплексни числа.
2. Множества от точки в комплексната равнина. Стереографска проекция.
3. Функции на комплексна променлива. Непрекъснати функции. Производна на функция на комплексна променлива. Аналитични (холоморфни) функции.
4. Необходими и достатъчни условия за диференцируемост (условия на Коши-Риман). Хармонични функции.
5. Криви в равнината. Конформни изображения.
6. Цяла линейна трансформация. Реципрочна трансформация. Дробно-линейна трансформация.
7. Показателна (експоненциална) функция.
8. Логаритмична функция.
9. Степенна функция.
10. Тригонометрични функции. Обратни тригонометрични функции.
11. Интеграл от функция на комплексна променлива по ректифицируема крива. Основни свойства. Пресмятане в случай на гладка крива.
12. Основна теорема на Коши. Обобщение за сложен контур.
13. Връзка между интеграл и примитивна.
14. Основна формула на Коши.
15. Безкрайна диференцируемост на аналитичните функции. Интегрални формули за производните. Теорема на Морера.
16. Равномерно сходящи редици и редове от непрекъснати функции. Свойства. 
17. Теорема на Вайерщрас за равномерно сходящи редове от аналитични функции.
18. Степенни редове. Теорема на Коши-Адамар. Диференциране на степенни редове. Теорема за единственост.
19. Теорема на Тейлър.Развитие на елементарните трансцендентни функции в редове на Тейлър. Неравенства на Коши за коефициентите на реда на Тейлър. Теорема на Лиувил.
20. Теорема за идентичност на аналитичните функции. Нули на аналитичните функции. 
21. Теорема на Лоран.
22. Изолирани особени точки на аналитичните функции. Класификация. Теорема на Сохоцки-Вайерщрас.
23. Поведение на аналитичните функции в околност на безкрайната точка. Цели и мероморфни функции.
24. Резидуум. Теорема за резидуумите. Приложения.

Литература

1. Аргирова Т., Теория на аналитичните функции, Издателство на СУ “Св. Климент Охридски”, 1992.
2. Касандрова И., Пенева Т., Ръководство за решаване на задачи по комплексен анализ, Издателство на ПУ “Паисий Хилендарски”, 2003.

Оценяване

• По време на триместъра ще бъдат зададени две домашни работи и ще се проведат два теста (върху задачи и теория), съответно върху въпроси 1-10  и 11-24 от конспекта.
• Домашните работи се решават самостоятелно и се предават в писмена форма на преподавателя в определения срок. След този срок домашни работи не се приемат.
• Максималният брой точки за всяка домашна работа е 10 точки, а за всеки тест - 30 точки.
• На всеки от изпитите през редовната, поправителната или ликвидационната сесия също ще се провеждат два теста на същия принцип.
• Всеки студент може да се явява колкото пъти пожелае, на който и да е от тестовете. Явяването на изпит не е задължително, ако през триместъра студентът е получил точки, достатъчни за средна или по-висока оценка.
• Оценката се оформя по скалата по-долу, като се вземе сумата от: точките на двете домашни работи, най-високия брой точки на тестовете върху първата част и най-високия брой точки на тестовете върху втората част. По този начин, максималният брой точки, които един студент може да събере, е равен на 80.

Учебни материали

Домашни работи