Математически анализ 1 - 2016/2017

Конспект

1. Реални числа. Принцип за непрекъснатост на реалните числа. Принцип на Коши-Кантор за вложените интервали. Принцип на Борел-Лебег за крайното покритие. Принцип на Болцано-Вайерщрас за точката на сгъстяване. Мощност на множеството на реалните числа. 
2. Граница на редица от реални числа. Безкрайно малки и безкрайно големи редици. Основни свойства на сходящите редици - единственост на границата, сходимост на подредиците, ограниченост, граничен преход в неравенствата, теорема за междинната редица, действия със сходящи редици. 
3. Критерий на Коши за сходимост на редица от реални числа.
4. Монотонни редици. Критерий за сходимост на монотонна редица. 
5. Горна граница и долна граница на редица от реални числа. 
6. Граница на реална функция - дефиниции на Коши и Хайне. Основни свойства на границите - граничен преход в неравенствата, теорема за междинната функция, действия с граници, граница на композиция.  
7. Обща дефиниция за граница на функция по база. Основни свойства на границите. Критерий на Коши за съществуване на крайна граница на функция. Граница на монотонна функция при някои бази. 
8. Непрекъснати функции. Локални свойства - ограниченост, съхраняване на знака, действия с непрекъснати функции. Свойства на непрекъснатите функции в затворен интервал - ограниченост, теорема за екстремалните стойности, теорема за междинните стойности, равномерна непрекъснатост. 
9. Непрекъснатост на елементарните функции. Забележителни граници. Асимптотични равенства. Безкрайно малки и безкрайно големи функции. 
10. ​Производна на функция. Геометричен и физичен смисъл. Основни правила за диференциране. Диференциране на елементарните функции.
11. Производни от по-висок ред.
12. Диференциал на функция.  
13. Теореми за средните стойности в диференциалното смятане - теорема на Рол за нулите на производната, теорема на Лагранж за крайните нараствания, теорема на Коши за крайните нараствания.
14. Теореми на Лопитал за граница на частно. 
15. Полином на Тейлър. Формула на Тейлър с остатъчен член във форма на Пеано. Формула на Тейлър с остатъчен член във форма на Лагранж. Оценка за грешката във формулата на Тейлър.
16. Приложения на производните за изследване на функции - критерии и признаци за константност, монотонност и изпъкналост, локални екстремуми. Построяване на графиката на функция.

Литература

1. Д. Дойчинов, Математически анализ, Наука и изкуство, София, 1989.
2. В. А. Илин, В. А. Садовничи, Бл. Х. Сендов, Математически анализ, 1. част, Наука и изкуство, София, 1989.
3. Ст. Ангелов и колектив, Ръководство за решаване на задачи по математически анализ, I част, Пловдивско университетско издателство, 1993.
4. Ст. Ангелов и колектив, Сборник от задачи по математически анализ, I част, Пловдивско университетско издателство, 1997.
5. И. Проданов, Н. Хаджииванов, И. Чобанов, Сборник от задачи по диференциално и интегрално смятане, Университетско издателство "Св. Климент Охридски", 1992.
6. S. Hollis, CalcLabs with Mathematica for Single Variable Calculus, Fifth Edition, Brooks/Cole, 2012. 
7. Сн. Гочева-Илиева, Въведение в система Mathematica, Европейска виртуална лаборатория по математика.
8. Сн. Гочева-Илиева, Система Mathematica, Европейска виртуална лаборатория по математика.