Комплексен анализ - 2020/2021
Конспект
- Комплексни числа. Редици и редове от комплексни числа.
- Множества от точки в комплексната равнина. Стереографска проекция.
- Функции на комплексна променлива. Непрекъснати функции. Производна на функция на комплексна променлива. Аналитични (холоморфни) функции.
- Необходими и достатъчни условия за диференцируемост (условия на Коши-Риман). Хармонични функции.
- Криви в равнината. Конформни изображения.
- Цяла линейна трансформация. Реципрочна трансформация. Дробно-линейна трансформация.
- Показателна (експоненциална) функция.
- Логаритмична функция.
- Степенна функция.
- Тригонометрични функции. Обратни тригонометрични функции.
- Интеграл от функция на комплексна променлива по ректифицируема крива. Основни свойства. Пресмятане в случай на гладка крива.
- Основна теорема на Коши. Обобщение за сложен контур.
- Връзка между интеграл и примитивна.
- Основна формула на Коши.
- Безкрайна диференцируемост на аналитичните функции. Интегрални формули за производните. Теорема на Морера.
- Равномерно сходящи редици и редове от непрекъснати функции. Свойства.
- Теорема на Вайерщрас за равномерно сходящи редове от аналитични функции.
- Степенни редове. Теорема на Коши-Адамар. Диференциране на степенни редове. Теорема за единственост.
- Теорема на Тейлър.Развитие на елементарните трансцендентни функции в редове на Тейлър. Неравенства на Коши за коефициентите на реда на Тейлър. Теорема на Лиувил.
- Теорема за идентичност на аналитичните функции. Нули на аналитичните функции.
- Теорема на Лоран.
- Изолирани особени точки на аналитичните функции. Класификация. Теорема на Сохоцки-Вайерщрас.
- Поведение на аналитичните функции в околност на безкрайната точка. Цели и мероморфни функции.
- Резидуум. Теорема за резидуумите. Приложения.
Литература
- Аргирова Т., Теория на аналитичните функции, Издателство на СУ “Св. Климент Охридски”, 1992.
- Касандрова И., Пенева Т., Ръководство за решаване на задачи по комплексен анализ, Издателство на ПУ “Паисий Хилендарски”, 2003.